lineare differenzialgleichungen 1.ordnung

$y^{\prime }+py=s(x)$ $s(x)=St\ddot{o}rfunktion$ wenn Störfunktion = 0 ⇒ homogene Differenzialgleichung wenn Störfunktion nicht 0 ⇒ inhomogene Differentialgleichung

Bsp. $y^{\prime }+2y=0$ $\frac{dy}{dx}=-2y$ $\frac{1}{y}dy=-2dx$ $y=e^{-2x}C$

Bsp. $y^{\prime }+2y=5$ $yp(x)=k$ $y{p}^{\prime }+2yp=5$ $2k=5$ $k=2,5$ bsp $y^{\prime }+2y=7$ $y{p}^{\prime }2yp=7$ $yp=h$ $y_n=C\ast e^{-2x}$ $(k)42k=7$ $y=yn+yp$ $k=3,5$ $y=C\ast e^{-2x}+3,5$ bsp $y^{\prime }+2y=7x+3$ $y^{\prime }+2y=0$ $yp(x)=k\ast x+d$ $y=C\ast e^{-2x}$ $y^{\prime }p+2yp=7x+3$ $(k\ast x+d{)}^{\prime }+2(kc+d)=7x+3$ $y=C\ast e^{-2x}+3,6-5x-0,25yp$ bsp s54-56 $y^{\prime }+2=3\ast \sin (4x)$ $yp(x)=a\ast \sin (4x)+b\ast \cos (4x)$ $y{p}^{\prime }+2yp=3\ast \sin (4x)$ $(a\ast \sin (4x))+b\cos (4x){)}^{\prime }+2\ast (a\ast \sin (4x)+b\ast \cos (4x))=3\ast \sin (4x)$ klammer abgeleitet $=4a\cos (4x)-4b\sin (4x)$ $4a\cos (4x)-4b\sin (4x)+(4a+2b)\ast \cos (4x)=3\sin (4)$ $y=C\ast e^{-2x}+0,3\sin (4x)-0,6\ast \cos (4x)$