differenzialgleichungen-1.ordnung-methode-trennung-der-variablen

Bsp: $x+y\ast y^{\prime }=0$ $y(4)=3$ $x+y\ast \frac{dy}{dx}=0$ y’ ersetzen mit $\frac{dy}{dx}$ $x+y\ast \frac{dy}{dx}=0|\ast dx$ $x+dx+y\ast dy=0|-y\ast dy$ $x\ast dx=-y\ast dy$ x und y sind geretnnt ⇒ trennung der variablen $\int xdx=-\int ydy$ beide seiten unbestimmt ingerieren $\frac{x^2}{2}+C_1=-\frac{y^2}{2}+C_2|-C_1$ $C_3=C_2-C_1$ $\frac{x^2}{2}=-\frac{y^2}{2}+C_3|\ast 2$ $x^2=y^2+C$ $C=C_3\ast 2$ Gleichung des Ursprungkreises

bsp 3.31) a) $y(0)=1$ $y^{\prime }=4-y$ $\frac{dy}{dx}=4-y|dx$ $dy=(4-y)dx|:(4-y)$ $\frac{dy}{4-y}\ast dy=dx|\int$ $\int \frac{1}{4-y}dy=\int 1dx$ substhihouren $-\ln |4-y|+C_1=x+(2|(-1))$ $\ln |4-y|=-x-C_3$ basis e erheben $|4-y|=\pm e^{-x-C_3}$ $4-y=e^x\ast e^{-C_3}\to C_4|-4\ast (-1)$ $y=-e^{-x}\ast C_4+4$ $y(0)=1$ $1=-C_4+4\Rightarrow C_4=3$ $y=-3\ast e^{-x}+4$ b) $y^{\prime }=-x\ast y$ $y(0)=1$ $\frac{dy}{dx}=-x\ast y|\ast dx$ $dy=-x\ast y+dx|\ast y$ 3.33) a) $x\ast y^2+y^{\prime }=0;y(1)=1$ $x\ast y^2+\frac{dy}{dx}=0$ $x\ast y^2\ast dx+dy=0$ $x\ast dx=-\frac{dy}{y^2}$ $\int xdx=0\int \frac{1}{y^2}dx$ $\frac{x^2}{x}=\frac{1}{y}+C|2\ast y$ $\frac{x^2+C}{2}=\frac{1}{y}$ $(x^2+C)\ast y=2|\ast ()$ $y=\frac{2}{x^2+C}$ $y(1)=1$ $1=\frac{2}{1+C}\Rightarrow C=1\Rightarrow y=\frac{2}{x^2+1}$ Aufgabenpool slop Bakterien kultur B_049 Bakterienkultur.pdf