vektoren-rechenoperationen

Addition und Subtraktion

Addition

$\vec{a}+\vec{b}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a_x}{a_y}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{b_x}{b_y}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a_x+b_x}{a_y+b_y}\right)$

Subtraktion

$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$ Der defferenzvektor a-b = summe von vec a und gegenvektor von b

mit Skalar multiplizieren

$k\ast \vec{a}=k\ast \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a_x}{a_y}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k\ast a_x}{k\ast a_y}\right)$

Skalarprodukt

$\vec{a}\ast \vec{b}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a_x}{a_x}\right)\ast \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{b_x}{b_y}\right)=a_x\ast b_x+a_y+b_y$

Einheitsvektor

$\overrightarrow{e_a}=\frac{1}{\vec{a}}\ast \vec{a}$ Vector mit len = 1 $\vec{a}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{20}\right)$ len des vektors (Einheitsvektor) berechnen $|\vec{a}|\sqrt{10^2+20^2}=22.36$ $\overrightarrow{e_a}=\frac{1}{22.36}\ast \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{20}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0.4}{0.89}\right)$ $|\overrightarrow{e_a}|=\sqrt{0.4^2+0.89^2}=1.15$

Normalvektor

Wenn das Sklarlaarprodukt von 2 vektoren 0 ist, so sind sie senkrecht zu einander. kreuzprodukt beider vektoren $\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{n}$

$$||"id":1675388700224|||:\vec{n}\ast \vec{a}=0||:\vec{n}\ast \vec{b}=0$$

Skalarprodukt

regel: sind u und v normalvektoren, dann ist das skalarprodukt = 0 → der winkel zw den beiden ist 90° $\vec{u}\ast \vec{v}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{u_x}{u_y}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{v_x}{v_y}\right)=u_x\ast v_x+u_y\ast v_y$ verwendet um den winkel auszurechen $\vec{u}\ast v=|\vec{u}|\ast |\vec{v}|\ast \cos (\varphi )$ $\cos (\varphi )=\frac{\vec{u}\ast \vec{v}}{|\vec{u}|\ast |\vec{v}|}=\varphi =\arccos (\frac{\vec{u}\ast \vec{v}}{|\vec{u}|\ast |\vec{v}|})$ $\vec{a}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}\right)$ $\vec{b}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{-4}{2}\right)$ $\vec{a}\ast \vec{b}=1\ast (-4)+(2\ast 2)=0$ $|\vec{a}|=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$ $|\vec{b}|=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}$ $\varphi =\arccos \left(\frac{0}{\sqrt{5}\ast \sqrt{20}}\right)$ $\varphi =\arccos (0)=90°$