polarformen-komplexezahlen

😖Mathiger 🥲2te Klasse m 2te_Klasse komplexe-zahlen-quadratische-funktionen-logarithmen-übung

Formern

algeraische Normalform (Komponenform)

$z=a+b\ast j$

trigonometrische form

$z=r\ast (\cos (\phi )\ast j\ast \sin (\phi ))$

Versorform

$e^{j\ast \varphi }=\angle \varphi \to z=r\ast \angle \varphi =z=r\ast e^{j\ast \phi }$

Exponentialform

$z=r\ast e^{j\ast \phi }$

eulersche Formel

$e^{j\ast \varphi }=\cos (\varphi )+j\ast \sin (\varphi )$

Wie man auf r und φ kommt

$r=|z|=\sqrt{R{e}^2+I{m}^2}$ $\phi ={\tan }^{-1}\left(\frac{Im}{Re}\right)$

umwandlung der formen

a > 0 → Zeiger im 1. Quadranten

$\varphi ={\tan }^{-1}(\frac{b}{a})$

a < 0 → Zeiger im 2. oder 3. Quadranten

$\varphi ={\tan }^{-1}(\frac{b}{a})+180°$ $a=r\ast \cos (\varphi )$ $b=r\ast \sin (\varphi )$

Wenn im 4. Quadranten 360° dazuaddieren

bsp für umwandeln#

a) $z_1=3+2j$ $r=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}=3.61$ $\tan \varphi =\frac{2}{3}\to \varphi ={\tan }^{-1}(\frac{2}{3})=33,7°$ Polarform: $z=\sqrt{13}\ast (\cos ((33,7°)+j\ast \sin (33,7°))$ Exponentialform: $z=\sqrt{13}\ast e^{j\ast 33,7°}$ man muss nur auf auf ϕ und r kommen dann kann man, einfach beide formen ohne problem aufschreiben b) $z_2=4j$ $r=\sqrt{0^2+4^2}=4$ ϕ ist 90° da bei der Zeigerdarstellung es nur auf der y achse nach oben geht wäre es -4j wäre ϕ 180° weil es dann nur runtergehen würde $z=4\ast (\cos (90°)+j\ast \sin (90°))=4\ast e^{j\ast 90°}$ c) a < 0 also 2ter oder 3ter Quadrant also 180 addieren $z_3=-3+2j$ $r=\sqrt{-3^2+2^2}=\sqrt{13}$ $\varphi ={\tan }^{-1}=\frac{2}{3}+180°=-33,7°+180°=146,3°$ $z_3=\sqrt{13}\ast (\cos (146.3°)+j\ast \sin (146.3°))=\sqrt{13}\ast e^{j\ast 146.3°}$

Rechnen mit der Polarform

Multiplizieren

$z_1\ast z_2=r_1\ast r_2\ast (\cos ({\varphi }_1+{\varphi }_2)+j\ast \sin ({\varphi }_1+{\varphi }_2))=r_1\ast r_2\ast e^{j\ast ({\varphi }_1+{\varphi }_2)}$

Beträge werden multipliziert und Winkel werden addiert

Dividieren

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\ast (\cos ({\varphi }_1-{\varphi }_2)+j\ast \sin ({\varphi }_1-{\varphi }_2))=\frac{r_1}{r_2}\ast e^{j\ast ({\varphi }_1-{\varphi }_2)}$

Beträge werden dividiert und Winkel werden subtrahiert

Potenzieren

$z^n=r^n\ast e^{j\ast (\varphi \ast n)}$

Beträge werden potenziert und Winkel werden multipliziert

1. Quadrant

$$||"id":380113209060||z=1+jRe=1,Im=1r=|z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\phi ={\tan }^{-1}(\frac{1}{1})=\frac{\pi }{4}$$

2. Quadrant

$$||"id":314893559138||z=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\ast jRe=-\frac{1}{2},Im=\frac{\sqrt{3}}{2}\phi ={\tan }^{-1}(\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}})={\tan }^{-1}(-\sqrt{3})=-\frac{\pi }{3}\phi =180°-60°$$

Das grüne ist das was rauskommt nach der Berechnung mit dem Tanges, aber stimmt noch nicht, deswegen muss man es von 180 abziehen.

3. Quadrant

$$||"id":1155394750579||z=-3-5\ast j\mathrm{Re}=-3,Im=-5\phi =\tan {}^{-1}(\frac{-5}{-3})=\tan {}^{-1}(\frac{5}{3})=59,04°=1,03\phi =180°+59,04°\phi =1,03°+\pi$$

4. Quadrant

$$||"id":781006515927||z=4-4\ast jRe=4,Im=-4\phi ={\tan }^{-1}(\frac{\sqrt{4}}{4})={\tan }^{-1}(-1)=-\frac{\pi }{4}2\ast \pi -\frac{\pi }{4}=\frac{7}{4}\ast \pi$$

2 Ausnahmen

$$\mathrm{Re}=0||"id":1629106989282||z=-2\ast j\phi =\frac{3}{2}\ast \pi =270°z=2\ast j\phi =\frac{\pi }{2}=90°$$