ableitungen-und-berechnungen-übung

a) Berechne die erste Ableitung

$$||"id":1667789097348||f(x)=13\ast (2x^3-5x)\ast (7-x^4+3x)=13\ast (14x^3-2x^7+6x^4-35x+5\ast x^5-15x^2)f^{\prime }(x)=13\ast (42x^2-14x^6+24x^3-35+25x^4-30x)$$

b) ² wird abgeleitet also *2 vor die Klammer und die Klammer ist ja ¹ nicht vergessen am ende mit der inneren ableitung zu multiplizieren

$$||"id":980958092404||f(x)=\frac{(5x^2-2{)}^2}{2}=\frac{1}{2}\ast (5x^2-2{)}^{2}f(x)=\frac{1}{2}\ast 2\ast (5x^2-2{)}^1\ast 10x$$

Bilde die erste Ableitung und vereinfache sie: a)

$$||"id":1351373315869||y(a)=\sqrt{5a^2+3b^2}=(5a^2+3b^2{)}^{\frac{1}{2}}{y}^{\prime }(a)=\frac{1}{2}\ast (5a^2+3b^2{)}^{-\frac{1}{2}}\ast (10a+0)=\frac{1}{\sqrt{5a^2+3b^2}}\ast 10a=\frac{10a}{\sqrt{5a^2+3b^2}}$$

$x^n=\frac{1}{x^n}$ $x^{\frac{m}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{x^m}}$ b) cos = g omega*t+phi = f

$$||"id":569933135149||f(t)=A\ast \sin (\omega \ast t+\varphi )f^{\prime }(t)=A\ast \cos (\omega \ast t+\varphi )\ast \omega$$

c)

$$||"id":673667207952||f:y=\frac{e^{2x}}{x^2-3}f=e^{2x}g=x^2-2f^{\prime }=2\ast (e^{2x}{)}^1{g}^{\prime }=2x\frac{(2\ast e^{2x})\ast (x^2-2)-2x\ast e^{2x}}{(x^2-2{)}^2}=\frac{2\ast e^{2x}}{(x^2-2{)}^2}\ast (x^2-2-x)$$

d)

$$||"id":303003162927||f:y=x\ast 2^{x}f=xg=2^x{f}^{\prime }=1g^{\prime }=2^x\ast {\ln }_2{f}^{\prime }\ast g+f\ast g^{\prime }x\ast (2^x\ast {\ln }_2)+1\ast 2^x=2^x\ast (x\ast {\ln }_2+1)$$

f)

$$||"id":839390844896||f:y=\ln \sqrt{\cos \sqrt{x}}$$

1:D 2:A/B Ableitung der höhe ist die Geschwindigkeit Nullstelle der Ableitung ist der extremwert

$$||"id":434199070290||f(x)=0,5x^3-6x+9g(x)\sqrt{0,5x^3-6x+9}{f}^{\prime }(x)=1.5x^2-6g^{\prime }(x)=\frac{1}{2}\ast (0.5x^3-6x+9{)}^{-\frac{1}{2}}\ast (1.5x^2-6)=\frac{1.5x^2-6}{\frac{1}{2}\ast \sqrt{0.5x^3-6x+9}}0=1.5x^2-6|+66=1.5x^2|:1.54=x^2|\sqrt{}x={\pm }_{2}g(-2)=\sqrt{0.5\ast -2^3-6\ast -2+9}=4.1g(2)=\sqrt{0.5\ast 2^3-6\ast 2+9}=1$$

nenner unwichtig weil darf nicht 0 sein, also ist nur der zähler relevant nullstellen sind +-2 überprüfen wichtig bei wurzerl oder im nenner, um zu sehen ob es definiert ist 6) a)

$$||"id":714362907435||f(x)=\frac{1}{2}\ast e^{x}g(x)=\frac{3x+1}{2}{f}^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)g^{\prime }(x)=\frac{3}{2}{f}^{\prime }(x)=\frac{1}{2}\ast e^x\frac{1}{2}\ast e^x=\frac{3}{2}\ln (\frac{1}{2}\ast e^x)=\ln (\frac{3}{2})\ln (\frac{1}{2})+\ln (e^x)=\ln (\frac{3}{2})|-\ln (\frac{1}{2})\ln (e^x)=\ln (\frac{3}{2})-\ln (\frac{1}{2})x\ast \ln (e)=\ln (\frac{3}{2})-\ln (\frac{1}{2})x=\ln (\frac{3}{2})-\ln (\frac{1}{2})=1.09\frac{1}{2}\ast e^{1.09}=1.5$$

g’(x) = steigung der funktion außerdem wenn x¹ → gerade x in ableitung einsetzen um zu prüfen, ob die richtige steigung rauskommt b)

$$||"id":693534899887||f(x)=1+3^{-x}g(x)=\frac{3-2x}{10}{f}^{\prime }(x)=-3^{-x}\ast \ln (3)g^{\prime }(x)=-\frac{2}{10}{f}^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)-3^{-x}\ast \ln (3)=-\frac{2}{10}{f}^{\prime }(2)=3^{-2}\ast \ln (3)=1.22\ast -3^{-x}\ast \ln (3)=-\frac{2}{10}|\ast -13^{-x}\ast \ln (3)=\frac{2}{10}\ln (3^{-x}\ast \ln (3))=\ln (\frac{2}{10})\ln (3^{-x})+\ln (\ln (3))=\ln (\frac{2}{10})|-\ln (\ln (3))\ln (3^{-x})=\ln (\frac{2}{10})-\ln (\ln (3))-x\ast \ln (3)=\ln (\frac{2}{10})-\ln (\ln (3)):\ln (3)-x=\frac{\ln (\frac{2}{10})-\ln (\ln (3))}{\ln (3)}=-1.55|:-1x=1.55-3{\ast }^{-1.55}\ast \ln (3)=-0.2f(1.55)=1+3^{1.55}=6.48$$

* weil f(x) fallen ist, muss die steigung (f’(x))negtiv sein also einfach ein minus davorschrieben (innsere abletung = -1) 3.39 a)

$$||"id":953746299154||g=10h(t)=125-\frac{1}{2}g{t}^2{h}^{\prime }(t)=vv=-\frac{1}{2}\ast g\ast 2tv=-\frac{1}{2}\ast 10\ast 2tv(2)=-\frac{1}{2}\ast 10\ast 2\ast 2=-20\frac{m}{s}$$

b)

$$||"id":295005099792||\frac{v}{2}=-\frac{10m}{s}$$

c)

$$||"id":441307333964||h(0)=125-\frac{1}{2}\ast 10\ast t^2|-125-125=-\frac{1}{2}\ast 10\ast t^2=-125=-5\ast t^2|:-5\frac{-125}{-5}=t^2|\sqrt{}t=5v=-5\ast 2\ast 5=-50$$

bei c 5 in v einsetzen

3.41

$$||"id":615466120202||h(t)=H+v_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^{2}H=60g=10v_0=20\frac{m}{s}h(t)=60+20\ast t-\frac{1}{2}10\ast t^2$$